Heavisides expansionsregel
Det finns ingen artikel på varken svenska eller engelska Wikipedia om detta, vilket är sorgligt. Jag borde skriva en…
Heavisides expansionsregel är inom matematiken en algebraisk metod för att bestämma koefficienter i en partialbråksuppdelning med hjälp av derivering. De koefficienter man kan få ut är de som har en nämnare av typen (x-a)^n; bråket innehåller alltså repeterade faktorer av den här typen.
En härledning av metoden följer, som också får duga som allmänt bevis. Villkoret är att gradtalet i fäljaren skall vara strikt mindre än det i nämnaren.
Om man vill dela upp ett bråk på denna form:
P(x) / (x-a)^2 = A/(x-a)^2 + B/(x-a) (vanlig ansats)
För att få A multiplicerar vi med (x-a)^2:
P(x) = A + B(x-a) (1)
och sedan sätter in x=a och får:
P(a) = A + B(a-a) = A
För att sedan få B deriverar vi (1) med avseende på x och sätter in x=a:
P’(a) = B
Detta mönster generaliseras till högre derivator då faktorerna är flera.
Resultatet är alltså att när man ska dela upp ett bråk med en repeterad
faktor i nämnaren, får man den n:te sökta koefficienten genom att sätta in
x=a i den (n-1):te derivatan av täljaren.
