Fruitbox

En klassisk favorit. Hur de kan tillåtas att ligga på YouTube vet jag inte, men det är inte mitt ansvar.

A very interesting game I thought I might share. At first I thought I was to win, but then I saw I was losing very big. Finally I tried a very brave invasion and succeeded which led me to win by 7,5 points! The fuseki turned out to be interesting as well.
Get the SGF-file here!

As always, claims say that Vista will be the absolutely ultra extra mega super greatest OS ever! And it will be the most accessible OS, ever! The truth is that Microsoft does less when it comes to accessibility. Even IE7 in its final version is fairly inaccessible with screen readers and magnifiers, as can be read at Magnifiers.org.
This is really really bad news!

INLEDNING

Denna text har det huvudsakliga syftet att försöka reda ut några oändligt komplexa saker som förbryllat mig länge. Som med mycket annat är det så att när man når högre och högre nivåer i en abstraktionshierarki, vad det än må vara, så kommer man att inse att det man vill förklara har analoga resonemang i många andra områden än det man från början avsedde. Jag kommer nu att börja med att förklara mina funderingar utifrån ett språkligt perspektiv. Det visade sig (jag tror så i alla fall) att mina funderingar har större koppling till språk än jag trodde.
Mina funderingar handlar, på en generell nivå, om tankar, och symboler. Jag funderar över hur t.ex. vårat matematiska eller musikaliska skrivsätt påverkar vårt fundamentala tankesätt. Ur ett annat perspektiv kan man se det som en frågeställning om hur vårat språk förmedlar information. Under rubriken MATEMATIK förklarar jag mera om varifrån mina funderingar kommer, och där kommer jag också att förtydliga en del. Gödels ofullständighetsteorem kommer vara ett centralt tema. Det är inte så förvånansvärt att kategoriteori kommer upp i tankarna. Men det lönar sig nog att börja med språket…

EN SPRÅKLIG TOLKNING

När man översätter en text till ett annat språk, så ställs man inför ett viktigt dilemma. Det är ett ganska subtilt problem, och har inte alltid någon direkt betydelse för förståelsen av texten. Vad jag syftar på är känslan som språket förmedlar. Denna är naturligtvis personlig, men vad är gemensamt? Ett visst ord på ett språk kanske inte alls framkallar samma känsla när det översätts, och man kanske ändrar texten mer för att matcha känslan. Frågan är uppenbar; vad är det ultimata språket? Finns det?
Nej, det gör det inte, och kommer aldrig heller att finnas… Det här har egentligen inte mycket med själva språket som sådant att göra, utan bara våra förväntningar på det. Vad vill vi egentligen att det skall kunna åstadkomma? Det är viktigt att inte dra förhastade slutsatser om vad som är något, och vad det förmedlar.
Språket är kraftfullt, och bär mycket mer information än själva orden. Hur tänkar vi oss saker och ting? Jo, vi använder språket när vi tänker! Fundera på skillnaderna mellan fraserna ”Grattis på födelsedagen” och ”Happy birthday”. Skälet till vissa skillnader är uppenbart: uttrycken är inte lika. Även om vi använder dem på samma sätt, är de inte alls lika i det här fallet. Men det här är inte vad jag försöker komma fram till, utan försök att koncentrera dig på ”födelsedagen” och ”birthday”. Finns det skillnader på denna nivå? Ja, det gör det, men skillnaderna är inte några explicita egenskaper som språket har, utan det är något inherent i oss, och som är olika för alla. Vi har olika erfarenheter, och associerar ord på olika sätt. En persons sekundära språk kommer aldrig att vara isomorft med modersmålet i den här meningen.
Språken innehåller information på denhär subtila nivån. En grön tröja och en röd tröja är båda tröjor, men signalerar ändå olika totalbudskap.
Om det nu fanns ett universellt språk, så skulle vi antagligen vara mycket mer kvicktänkta. Man kan leka med följande fundering: Vi använder vårat språk när vi tänker (i större delen av våra liv). Om vi nu kunde sätta samman stora mängder information til ny, på något sätt, skulle vi då kunna tänka mycket fortare? I själva verket använder vi oss av sådanahär blockningar till högre nivåer, men frågan är hur långt man kan gå. Är det här en Gödelsk procedur utan slut och med mål vi aldrig kan nå? Hur ska vi egentligen kunna förklara något som handlar om vårat språk? Vi använder sråket självt till detta, för vi har inget annat. Men vad går man miste om då? För att försöka besvara några av frågorna lönar det sig att titta på matematiken, som har många fördelar tackvare sin rigorösitet jämte språket när det gäller att försöka förklara sådanahär abstrakta ting.

MATEMATIK

Jag ska här försöka förklara hur det kan komma sig att jag tänker mig matematiken på ett så annorlunda vis, för det sägs att jag gör det. Detta tar jag upp därför att det visar notationernas mäktighet. Oftast är dessa bara små typografiska skillnader, men hur mycket påverkar sådana saker beräkningsmetoderna egentligen, och tankarna själva? Och varför? Det är frågor som jag ska diskutera.

Observera än en gång att detta inte enbart gäller matematik, men matematiken är ett utmärkt exempel på detta, eftersom den behandlar abstrakta saker på ett strikt sätt.

Jag är ganska intresserad av metamatematiska frågeställningar. Vad har vi för verktyg för att beskriva vårat beskrivningssätt? Med andra ord: hur kan vi beskriva vårat beskrivningssätt för matematik? Vad använder vi sedan för att beskriva beskrivningssättet? Den här tanken är mycket närbesläktad med de funderingar som Gödel framlade i sitt bevis för hans ofullständighetsteorem tycker jag.
Här finns något som man lätt aldrig tänker på. Det är ett mycket abstrakt område, som vi inte riktigt kan tala om på ett korrekt sätt.
Till att börja med kan vi koncentrera oss på den första nivån; hur vi skrever våran matematik. Det är naturligtvis som med vårt språk; det är ofullständigt, och kan inte beskriva allt på ett precist, entydigt sätt. Notationen styr mycket av det fundamentala tankesättet, och begränsar oss ofta på olika sätt.
Jag har väldigt stor erfarenhet av detta eftersom jag har vuxit upp med tre slags till stor del helt olika notationssystem.
1. Punktskriften, som läses rad för rad, har t.ex. ett helt annorlunda sätt att beskriva division, divisioner inuti divisioner, etc. Punktskriften är också den mest begränsade notationen.
2. Datornotationen, som om man inte använder speciella program, är begränsad till tangentbordets tecken. Här är parenteser ofta väldigt viktiga.
3. Den ”vanliga” notationen, som jag först nu mer och mer börjat bekanta mig med. Det är också därför jag ser skillnader, och kan jämföra skrivsätten. När nya koncept introduceras funderar jag ofta på varför de representeras som de gör.
Från början var det bara punktskrift som gällde, sedan kom datorerna, och jag fick börja använda ögonen, och lära mig att se och förstå. Detta var mycket svårt i början, näst intill omöjligt. Även om jag visste hur siffrorna och operatorerna såg ut, kunde jag inte tänka ut lösningar när jag såg dem. I början fuskade jag en del genom att skriva om tal i punktskrift. Såg jag 4/8*5/4-3/2 skrivet ”på vanligt sätt” kunde jag inte beräkna det, utan skrev om det i punktskrift först.

Jag är inte speciellt duktig i huvudräkning, som många tror. Jag har inget bildminne och kan inte se operationer i huvudet, och därför måste jag tänka på ett annat sätt.
För att förstå allt detta bättre kan man fundera på vad man tänker på när man tänker sig talet 8. Är det symbolen, eller är det någon egenskap som talet har, ja det finns oändligt många föreställningar. Jag antar att de flesta då ser siffran, en “betydelselös” symbol. Här vill jag än en gång poängtera hur djupt rotad notationen sitter i oss, och hur mycket vi använder den istället för något som kanske vore bättre.

Slutsatsen här är att det måste finnas en länk mellan själva skrivsättet, och det man i hjärnan tolkar som exempelvis addition. Man skulle t.ex. kunna byter ut alla plustecken mot bokstaven p, minus mot m, etc; 2g3p4g5d2p(1m2)…. Hur tänker man när man beräknar det här? Symbolerna är isomorfa i den meningen att de fungerar likadant, men de är ändå bara “kvasiisomorfa” vad gäller det de kan förmedla.
Men det slutar inte här. Det visar sig också att det finns mera fundamentala tankeskillnader som erhålls av olika notation.
Ett bra exempel är division, som man i datorsammanhang ofta skriver x/y.
Punktskrifts- och datorstilen är ganska lika, bortsett från att punktskriften också har en speciell operator “//”.
Dethär har medfört att jag har mycket svårt att tolka bråk än idag. En del beror på det sätt man först fick “bråk” förklarat. Man satt och delade cirklar och chokladkakor. Chokladkakor är gott, men för mig har denna tolkning ingen intuitiv betydelse.
Det blir dock lättare med tiden. Jag ser snabbt fördelarna med den ”vanliga” notationen, där man lätt, utan parenteser, visar vad som ingår i bråket. Men den vanliga notationen har också sina nackdelar, förståss. Den uttnyttjar i stort sett egenskapen att den kan vara tvådimensionell. Har man en division, och flera multiplikationer spelar det ofta ingen roll vad som “ingår i bråket”, detta är återgen bara en konsekvens av notationen.
När man vant sig vid andra system blir det att man ofta tänker på ett helt annorlunda sätt. Ett exempel är det man kallar för “att sätta upp något på gemensamt bråkstreck”. Det är något jag inte trodde kunde existera. Det är en sak som blir mer otydlig i datorerna. Om man skriver 1/(5+x)+2/(5+x), och om man aldrig sett den vanliga notationen med —-, så blir det mycket svårt att se någon ”förenkling”. Ännu svårare blir det att upptäcka sådant om nämnarna ser mer komplexa ut. Dethär blir avsevärt mycket lättare att tolka om man sett det vanliga skrivsättet förut. Man tänker helt enkelt inte alls på det sättet om man aldrig kommit i kontakt med det ”vanliga” skrivsättet. Man får börja fundera på operatorernas egenskaper såsom kommutativitet, distributivitet, osv.

Detta är ett trivialt exempel som visar att ett skrivsätt har stor påverkan på de fundamentala tankesätten inom matematiken.
Sanningen är den att när man ser formler på ett annorlunda vis, utan annan vana, tänker man mycket mer på operatorernas prioritet, och hittar ofta helt andra mönster. Mönster, är just ett mycket viktigt begrepp i sådanahär sammanhang.
Notationen är inte det enda som gjort att jag har ett annat tankesätt. Geometri, trigonometri och grafer är koncept som jag också föreställer mig på ett annat sätt. Jag tänker mer på relationer mellan mängder, och på något sätt på en mer fundamental nivå, där det finns väldigt många isomorfier mellan begrepp som kan tyckas helt olika.
Att ha en sådanhär öppen och splittrad föreställning om matematiken har naturligtvis både fördelar och nackdelar. Den största fördelen är troligen att det är relativt enkelt att föreställa sig abstrakta ting, t.ex. vektorrum i högre dimensioner.

Det är ganska komiskt att veta att ett av mina starkaste områden är analysen, där grafer har en central roll. Analysen har hjälpt mig otroligt mycket, speciellt inom fysiken. Hur ska man t.ex. tänka sig en accelererande bil, när man inte kan se den och inte kan springa bredvid och känna på den. Sitter man i den känner man av accelerationen, men har ingen aning om hur fort det går, Här kom derivatorna in och förklarade det mesta för mig. Det är också den enda tolkning av acceleration jag har idag.
Min svagaste sida är nog talteorin, kanske för att den handlar mycket om delbarhet och sådana begrepp som jag fortfarande har svårt att tolka. På grundskolan satt man med cirklar och chokladkakor och tog bort delar av dem och liknande, och det gav mig inte mycket…

SAMMANFATTNING

Många frågor är ställda, och få besvarade. Det är ett abstrakt och svårt område, och antagligen inte lätt att förstå när man läser. En bok jag vill rekommendera är Gödel, Escher, Bach - ett evigt gyllene band av Douglas R. Hofstadter. Boken diskuterar mycket sånthär, på olika nivåer. Gödels teorem är i sigsjälv intressant i dethär fallet. Den som känner till Gödels bevis kan börja fundera på om man kan tillämpa det i dethär fallet jag har beskrivit. Det är till viss del typografiska formella system vi har att göra med. Min slutliga poäng är att lyfta fram ett mycket viktig, men absolut inte intuitivt självklart faktum. Det är det att notationen ofta begränsar oss att dra slutsatser inom ramen för notationen själv. Tänk på Gödels teorem. “Att gå ut ur systemet”…

Den grundläggande högskolefysiken är jag ingen god vän med. När man börjar på universitet eller högskola bör man vara förtrogen med vissa av analysens grundkoncept såsom integration och derivation. Man bör också av böckerna uppmuntras till rationellt experimenterande för att komma fram till resultat, då man på den här nivån bör ha erhållit tillräckliga kunskaper i logiskt tänkande för att klara av detta. Det är otvivelaktigt så (enligt mig) att man lär sig koncepten mycket bättre om man tillämpar metoden jag beskrev. För mig personligen är den både nödvändig och tillräcklig.
Så här är det tyvärr inte idag. Mycket tackvare de amerikanska collegefysikböckerna som används, som knappt förutsätter kunskaper i integration. Filosofin där är att presentera koncepten intuitivt…
Någon måtta får det väl ändå vara? Man måste eftersträva balans mellan intuition och rigorösitet. Ack jag beklagar, vad ska man göra, om inte att hitta egna källor till kunskap, ty de officiella är jag inte förtjust i.

A group is one of the many algebraic structures one can study. It’s a useful tool when studying general structures which have certain common characteristic symmetries.
I found a nice introduction to the field (no pun intended) of group theory here:
An Introduction to Group Theory

Det finns en gammal vits om en man som skall köpa sig en diskmaskin. Försäljaren visar stolt upp en alldeles förträfflig och toppmodern maskin som han hävdar “gör halva jobbet”. Mannen betänker detta och säger sedan glatt: “Vad bra, då tar jag två!” *konstpaus*
Vad är det för fel med mannens resonemang?
Problemet ligger i vad vi förutsätter att en diskmaskin skall kunna utföra, och vad som skall kallas för “jobbet”. Men vad händer då om vi verkligen förutsätter att denna maskin kan göra halva jobbet? Då skulle vi väl ändå slippa allt om vi tog två?
Nu är det tyvärr så att “jobbet” återigen har flera betydelser. Så om mannen köper en diskmaskin som gör halva jobbet, då finns det ett “jobb” kvar, och därför köper han en till diskmaskin. Men denna skall utföra halva jobbet, och mannen måste nu ändå utföra hälften av hälften av jobbet. Det här fortsätter naturligtvis i all oändlighet, och man inser att för att slippa allt jobb måste han köpa oändligt många diskmaskiner, vilket naturligtvis inte är möjligt. Det här påminner starkt om problematiken bakom Zenons rörelseparadoxer.
Tyvärr, rubriken var bara en modern myt…

Se på världens evinnerliga bekymmer, och meditera över orsaker, konsekvenser och så vidare, och inse till slut som alla andra att du inget kan göra. Begrunda här för ett ögonblck världens inherenta och kaotiska elakhet. I mångt och mycket kan man göra fel eller rätt; vad som sker kan man till viss del bestämma. Men betänk dock att det finns oändligt många sätt att göra fel, och bara ändligt många sätt att göra rätt, så inser du snart att det inte är lönt att ens försöka. Med elementär sannolikhetslära inser du att sannolikheten för att du gör rätt är något ändligt delat med något oändligt, vilket är så nära noll så det kan försummas totalt. På samma sätt har visats att det inte kan finnas några människor i universum och därför är vi bara en produkt av något virrigt fantasiväsen. Så uttryckte Douglas Adams det hela.

Kul. Experimenterar med detta.

En differentialekvation av ordning ett
är inte alls svår, nej faktiskt väldigt lätt.
En differentialekvation av ordning två
med baslösningar två så ska det nog gå.
En differentialekvation av ordning tre
Nu blir det faktiskt tufft att hänga med.
En differentialekvation av ordning fyra
Ring Runge och Kutta, men de är dyra!
En differentialekvation av ordning fem
Nej nu, nu går jag hem!

Något om problemreduktion
Tänk dig att du är en hund, därtill en just nu väldigt hungrig hund, sugen på ett smaskigt ben. Tur är att du råkar ha någon i närheten som just kastar ett ben till dig! Problemet råkar nu vara att benet flög över ett stängsel som nu blockerar dig. Det finns dock en öppen grind femtio meter bort som du kan utnyttja. Hur tillämpas problemreduktion här? Hur kan problemrummet se ut? Problemet inbegriper naturligtvis inte sådana idéer som att hoppa över stängslet.
En del hundar springer rakt fram till stängslet och sedan inser att de inte kan komma igenom det och ställer sig därför och skäller irriterat. Andra hundar springer till grinden, och får sedan tag på benet; och en tredje grupp kanske springer fram till stängslet, inser att det inte går att ta sig igenom det, och springer sedan till grinden. Tänker vi oss det först ovan nämnda alternativet, blir delproblemen att:
1. ta sig till stängslet
2. ta sig genom stängslet
3. ta sig till benet
Mycket logiska alternativ, om man bara tittar på en mycket liten del av problemet. Naturligtvis vore det väl bäst att springa direkt i den riktning där benet fanns, eftersom avståndet är kortast? Här har problemavstånd och fysiskt avstånd förväxlats.
Den andra typ av hundar, som springer genom grinden, kanske föreställer sig problemet som följer:
1. spring fram till grinden
2. ta sig genom grinden
3. ta sig till benet
Kanske har de prövat tanken att göra som i alternativ ett, men tack vare något slags återkoppling inser de att det inte kommer att lyckas. De här hundarna har en klar uppfattning om problem avstånd kontra fysiskt avstånd.
Den tredje kategorin som springer fram till stängslet först, och sedan inser att de borde springa till grinden, har samma potential som de som direkt sprang genom grinden. Skillnaden är att de inte har samma klara uppfattning om problemrummet.

Tänk så många problem i vardagen vi löser där vi måste aggera någon av dessa grupper. Ibland ser vi ingen utväg alls. Ibland ser vi lösningen direkt även om den innebär en liten förvrängning av problemrummet eller ett till synes försvårande av problemet som helhet. Ibland händer det ju också att vi är som hundarna i alternativ 3. Vi inser inte hur vi borde gjort förän vi prövat det som visar sig vara felaktigt.
Hur programmerar man en AI som klarar av allt detta? Jag vet inte, men kanske är inte den här reduktionistiska synen lämplig inom AI-programmering…

Idag kl. 12:00 (GMT=10:00) har Ubuntu Accessibility Team möte i vanlig ordning i #ubuntu-meeting på FreeNode-nätverket. Jag är registrerad medlem men har inte haft möjlighet att hjälpa till så mycket än, men jag tänker vara med på detta möte och hoppas det ger något. Jag har en föreläsning nu men tackvare att vi har sommartid (GMT+2) så hinner jag vara med på mötet!

Dags för ännu en föreläsning i system av linjära ordinära differentialekvationer av ordning 1 med konstanta koefficienter. Lång mening att säga, men inte så väldigt svårt att räkna. En sorts “halvgeneralisering” där den linjära algebran slår tillbaka med full kraft. Vad heter algebra i plural? Algebror, algebran? Nåja, dags att börja ge sig iväg.

Som uppföljning till inlägget om Poincarés förmodan kan jag tillägga att Tina S. Chang har skrivit en låt som heter Perelman’s Song. Här kan man för övrigt hitta ännu en beskrivning av Poincarés förmodan (på engelska) i förhoppningsvis enkla termer.

Let there be a number a such that b is a number such that there exists a number c such that a, b, and c are not numbers….
No, seriously:
Things are not always simple, we know that. Many problems can be simplified, but let’s do the opposite!

Let us start with a number… let’s call it x. Now this is equivalent to writing 2x-x, right? Now let’s substitute the second term with the derivative of x^2 divided by 2, and therefore we have:
2x-D(x^2/2), where D is the derivative function. Now if we add +1-1 it changes nothing:
2x-D(x^2/2)+1-1
one of the 1’s can be written as an integral, yielding:
2x-D(x^2/2)+1-int[0..1](dx)
Expanding the integral we have:
2x-D(x^2/2)+1-(x)[0..1]
But now remember x was equal to 2x-x, of course:
2x-D(x^2/2)+1-(2x-x)[0..1]
And the last x-term can be written as a derivative of x^2/2… … … All right. See the recursive pattern will never end, and therefore we might as well stop and conclude something nice, like: We start with a number, let’s call it x, and then we … never end with anything at all! Particularly nothing very interesting!

Don’t try this at home!