Fruitbox

INLEDNING

Denna text har det huvudsakliga syftet att försöka reda ut några oändligt komplexa saker som förbryllat mig länge. Som med mycket annat är det så att när man når högre och högre nivåer i en abstraktionshierarki, vad det än må vara, så kommer man att inse att det man vill förklara har analoga resonemang i många andra områden än det man från början avsedde. Jag kommer nu att börja med att förklara mina funderingar utifrån ett språkligt perspektiv. Det visade sig (jag tror så i alla fall) att mina funderingar har större koppling till språk än jag trodde.
Mina funderingar handlar, på en generell nivå, om tankar, och symboler. Jag funderar över hur t.ex. vårat matematiska eller musikaliska skrivsätt påverkar vårt fundamentala tankesätt. Ur ett annat perspektiv kan man se det som en frågeställning om hur vårat språk förmedlar information. Under rubriken MATEMATIK förklarar jag mera om varifrån mina funderingar kommer, och där kommer jag också att förtydliga en del. Gödels ofullständighetsteorem kommer vara ett centralt tema. Det är inte så förvånansvärt att kategoriteori kommer upp i tankarna. Men det lönar sig nog att börja med språket…

EN SPRÅKLIG TOLKNING

När man översätter en text till ett annat språk, så ställs man inför ett viktigt dilemma. Det är ett ganska subtilt problem, och har inte alltid någon direkt betydelse för förståelsen av texten. Vad jag syftar på är känslan som språket förmedlar. Denna är naturligtvis personlig, men vad är gemensamt? Ett visst ord på ett språk kanske inte alls framkallar samma känsla när det översätts, och man kanske ändrar texten mer för att matcha känslan. Frågan är uppenbar; vad är det ultimata språket? Finns det?
Nej, det gör det inte, och kommer aldrig heller att finnas… Det här har egentligen inte mycket med själva språket som sådant att göra, utan bara våra förväntningar på det. Vad vill vi egentligen att det skall kunna åstadkomma? Det är viktigt att inte dra förhastade slutsatser om vad som är något, och vad det förmedlar.
Språket är kraftfullt, och bär mycket mer information än själva orden. Hur tänkar vi oss saker och ting? Jo, vi använder språket när vi tänker! Fundera på skillnaderna mellan fraserna ”Grattis på födelsedagen” och ”Happy birthday”. Skälet till vissa skillnader är uppenbart: uttrycken är inte lika. Även om vi använder dem på samma sätt, är de inte alls lika i det här fallet. Men det här är inte vad jag försöker komma fram till, utan försök att koncentrera dig på ”födelsedagen” och ”birthday”. Finns det skillnader på denna nivå? Ja, det gör det, men skillnaderna är inte några explicita egenskaper som språket har, utan det är något inherent i oss, och som är olika för alla. Vi har olika erfarenheter, och associerar ord på olika sätt. En persons sekundära språk kommer aldrig att vara isomorft med modersmålet i den här meningen.
Språken innehåller information på denhär subtila nivån. En grön tröja och en röd tröja är båda tröjor, men signalerar ändå olika totalbudskap.
Om det nu fanns ett universellt språk, så skulle vi antagligen vara mycket mer kvicktänkta. Man kan leka med följande fundering: Vi använder vårat språk när vi tänker (i större delen av våra liv). Om vi nu kunde sätta samman stora mängder information til ny, på något sätt, skulle vi då kunna tänka mycket fortare? I själva verket använder vi oss av sådanahär blockningar till högre nivåer, men frågan är hur långt man kan gå. Är det här en Gödelsk procedur utan slut och med mål vi aldrig kan nå? Hur ska vi egentligen kunna förklara något som handlar om vårat språk? Vi använder sråket självt till detta, för vi har inget annat. Men vad går man miste om då? För att försöka besvara några av frågorna lönar det sig att titta på matematiken, som har många fördelar tackvare sin rigorösitet jämte språket när det gäller att försöka förklara sådanahär abstrakta ting.

MATEMATIK

Jag ska här försöka förklara hur det kan komma sig att jag tänker mig matematiken på ett så annorlunda vis, för det sägs att jag gör det. Detta tar jag upp därför att det visar notationernas mäktighet. Oftast är dessa bara små typografiska skillnader, men hur mycket påverkar sådana saker beräkningsmetoderna egentligen, och tankarna själva? Och varför? Det är frågor som jag ska diskutera.

Observera än en gång att detta inte enbart gäller matematik, men matematiken är ett utmärkt exempel på detta, eftersom den behandlar abstrakta saker på ett strikt sätt.

Jag är ganska intresserad av metamatematiska frågeställningar. Vad har vi för verktyg för att beskriva vårat beskrivningssätt? Med andra ord: hur kan vi beskriva vårat beskrivningssätt för matematik? Vad använder vi sedan för att beskriva beskrivningssättet? Den här tanken är mycket närbesläktad med de funderingar som Gödel framlade i sitt bevis för hans ofullständighetsteorem tycker jag.
Här finns något som man lätt aldrig tänker på. Det är ett mycket abstrakt område, som vi inte riktigt kan tala om på ett korrekt sätt.
Till att börja med kan vi koncentrera oss på den första nivån; hur vi skrever våran matematik. Det är naturligtvis som med vårt språk; det är ofullständigt, och kan inte beskriva allt på ett precist, entydigt sätt. Notationen styr mycket av det fundamentala tankesättet, och begränsar oss ofta på olika sätt.
Jag har väldigt stor erfarenhet av detta eftersom jag har vuxit upp med tre slags till stor del helt olika notationssystem.
1. Punktskriften, som läses rad för rad, har t.ex. ett helt annorlunda sätt att beskriva division, divisioner inuti divisioner, etc. Punktskriften är också den mest begränsade notationen.
2. Datornotationen, som om man inte använder speciella program, är begränsad till tangentbordets tecken. Här är parenteser ofta väldigt viktiga.
3. Den ”vanliga” notationen, som jag först nu mer och mer börjat bekanta mig med. Det är också därför jag ser skillnader, och kan jämföra skrivsätten. När nya koncept introduceras funderar jag ofta på varför de representeras som de gör.
Från början var det bara punktskrift som gällde, sedan kom datorerna, och jag fick börja använda ögonen, och lära mig att se och förstå. Detta var mycket svårt i början, näst intill omöjligt. Även om jag visste hur siffrorna och operatorerna såg ut, kunde jag inte tänka ut lösningar när jag såg dem. I början fuskade jag en del genom att skriva om tal i punktskrift. Såg jag 4/8*5/4-3/2 skrivet ”på vanligt sätt” kunde jag inte beräkna det, utan skrev om det i punktskrift först.

Jag är inte speciellt duktig i huvudräkning, som många tror. Jag har inget bildminne och kan inte se operationer i huvudet, och därför måste jag tänka på ett annat sätt.
För att förstå allt detta bättre kan man fundera på vad man tänker på när man tänker sig talet 8. Är det symbolen, eller är det någon egenskap som talet har, ja det finns oändligt många föreställningar. Jag antar att de flesta då ser siffran, en “betydelselös” symbol. Här vill jag än en gång poängtera hur djupt rotad notationen sitter i oss, och hur mycket vi använder den istället för något som kanske vore bättre.

Slutsatsen här är att det måste finnas en länk mellan själva skrivsättet, och det man i hjärnan tolkar som exempelvis addition. Man skulle t.ex. kunna byter ut alla plustecken mot bokstaven p, minus mot m, etc; 2g3p4g5d2p(1m2)…. Hur tänker man när man beräknar det här? Symbolerna är isomorfa i den meningen att de fungerar likadant, men de är ändå bara “kvasiisomorfa” vad gäller det de kan förmedla.
Men det slutar inte här. Det visar sig också att det finns mera fundamentala tankeskillnader som erhålls av olika notation.
Ett bra exempel är division, som man i datorsammanhang ofta skriver x/y.
Punktskrifts- och datorstilen är ganska lika, bortsett från att punktskriften också har en speciell operator “//”.
Dethär har medfört att jag har mycket svårt att tolka bråk än idag. En del beror på det sätt man först fick “bråk” förklarat. Man satt och delade cirklar och chokladkakor. Chokladkakor är gott, men för mig har denna tolkning ingen intuitiv betydelse.
Det blir dock lättare med tiden. Jag ser snabbt fördelarna med den ”vanliga” notationen, där man lätt, utan parenteser, visar vad som ingår i bråket. Men den vanliga notationen har också sina nackdelar, förståss. Den uttnyttjar i stort sett egenskapen att den kan vara tvådimensionell. Har man en division, och flera multiplikationer spelar det ofta ingen roll vad som “ingår i bråket”, detta är återgen bara en konsekvens av notationen.
När man vant sig vid andra system blir det att man ofta tänker på ett helt annorlunda sätt. Ett exempel är det man kallar för “att sätta upp något på gemensamt bråkstreck”. Det är något jag inte trodde kunde existera. Det är en sak som blir mer otydlig i datorerna. Om man skriver 1/(5+x)+2/(5+x), och om man aldrig sett den vanliga notationen med —-, så blir det mycket svårt att se någon ”förenkling”. Ännu svårare blir det att upptäcka sådant om nämnarna ser mer komplexa ut. Dethär blir avsevärt mycket lättare att tolka om man sett det vanliga skrivsättet förut. Man tänker helt enkelt inte alls på det sättet om man aldrig kommit i kontakt med det ”vanliga” skrivsättet. Man får börja fundera på operatorernas egenskaper såsom kommutativitet, distributivitet, osv.

Detta är ett trivialt exempel som visar att ett skrivsätt har stor påverkan på de fundamentala tankesätten inom matematiken.
Sanningen är den att när man ser formler på ett annorlunda vis, utan annan vana, tänker man mycket mer på operatorernas prioritet, och hittar ofta helt andra mönster. Mönster, är just ett mycket viktigt begrepp i sådanahär sammanhang.
Notationen är inte det enda som gjort att jag har ett annat tankesätt. Geometri, trigonometri och grafer är koncept som jag också föreställer mig på ett annat sätt. Jag tänker mer på relationer mellan mängder, och på något sätt på en mer fundamental nivå, där det finns väldigt många isomorfier mellan begrepp som kan tyckas helt olika.
Att ha en sådanhär öppen och splittrad föreställning om matematiken har naturligtvis både fördelar och nackdelar. Den största fördelen är troligen att det är relativt enkelt att föreställa sig abstrakta ting, t.ex. vektorrum i högre dimensioner.

Det är ganska komiskt att veta att ett av mina starkaste områden är analysen, där grafer har en central roll. Analysen har hjälpt mig otroligt mycket, speciellt inom fysiken. Hur ska man t.ex. tänka sig en accelererande bil, när man inte kan se den och inte kan springa bredvid och känna på den. Sitter man i den känner man av accelerationen, men har ingen aning om hur fort det går, Här kom derivatorna in och förklarade det mesta för mig. Det är också den enda tolkning av acceleration jag har idag.
Min svagaste sida är nog talteorin, kanske för att den handlar mycket om delbarhet och sådana begrepp som jag fortfarande har svårt att tolka. På grundskolan satt man med cirklar och chokladkakor och tog bort delar av dem och liknande, och det gav mig inte mycket…

SAMMANFATTNING

Många frågor är ställda, och få besvarade. Det är ett abstrakt och svårt område, och antagligen inte lätt att förstå när man läser. En bok jag vill rekommendera är Gödel, Escher, Bach - ett evigt gyllene band av Douglas R. Hofstadter. Boken diskuterar mycket sånthär, på olika nivåer. Gödels teorem är i sigsjälv intressant i dethär fallet. Den som känner till Gödels bevis kan börja fundera på om man kan tillämpa det i dethär fallet jag har beskrivit. Det är till viss del typografiska formella system vi har att göra med. Min slutliga poäng är att lyfta fram ett mycket viktig, men absolut inte intuitivt självklart faktum. Det är det att notationen ofta begränsar oss att dra slutsatser inom ramen för notationen själv. Tänk på Gödels teorem. “Att gå ut ur systemet”…