Fruitbox

Stanford har ett arkiv med videomaterial med Donald Knuth !
Titta in här!

Rekursion: se Rekursion…

Listen to this amazing episode of Futures in Biotech!
A talk with professor Larry Smarr on the future of computing, the internet, and science!

I’d like to post some thoughts about one particular problem I face very often. This time I’d like to take it from a more abstract point of view than usually, because I think the generality of this problem is impressive.
Given any sort of structure, it is possible to present it in many different ways. Consider for example a two-dimensional structure like a 2D-graph, drawn on paper vs. represented in a computer’s memory.
Of particular interest to me is representing multi-dimensional structures with fewer (hopefully one) dimensions. Take the case of mathematical notation vs. computer math notation, for instance.
Quite often it is the case that we know multiple ways of representing our structure, but that we lose some information in the process. In our graph example, we wouldn’t know as easily by reading the computer’s memory that the graph represented an octagon, for instance.
Are there transformations that can map all the information from a structure (even information belonging to the original structure) to another, different structure? Probably not. In some sense, the answer is yes though, because we can construct the original graph out of a linear description in a computer’s memory, so the information of the original structure must exist in the linear description as well. However, there is clearly something missing from our linear description. What is going on here?

A bit more mathematically, we can ask whether there exists certain kinds of isomorphisms (in the sense of preserving essential information) between structures?
Wikipedia has some examples of “everyday” isomorphisms, but they do not work for my problem. The first example (with the decks of cards) makes me think “what if the colour is an essential piece of information?” Then these structures are not isomorphic in the sense I use here. Now let us look at the second example, in which we compare a wristwatch to a clock tower. In a way they are isomorphic, but not in my sense of the word. Looking at a wristwatch does not help you understand how a clocktower looks at all, so it is a different kind of isomorphism. This information is stored in the structure, and is not preserved in this case.

But of course… these fail because I used a very bad word in my definition of isomorphism; “essential” information.
We can not exclude any information, for it might be essential for someone or for some purposes.
What is useless to someone might as well be essential for someone else, so that leads us back to my first question, of whether there exists isomorphisms between different structures that preserve ALL information.

Please prove me wrong on this one!

Jag tänkte här försöka reflektera över hur mina filosofiska tankar i tillämpade ämnen hänger ihop i den rena filosofin. Jag är inte så väldigt välbekant med de standardskolor som finns i filosofin, och därför kanske jag kan komma med en och annan befängd tanke, och sådana tror jag är viktiga. Jag tror i allmänhet att det är rätt viktigt att försöka erhålla så mycket kunskap på egen hand som möjligt. Detta för att när man lär sig av någon annan får man inte bara ny kunskap utan man begränsas också något inom ramen för denna (se Om notationssystem, våra tankar, och Gödel i mitt arkiv). Ett bra sätt att kringgå detta är naturligtvis att diskutera med andra människor, och få sina idéer kritiserade. Trots allt detta experimenttänkande vill jag inte betrakta migsjälv som empirist, nej, jag anser att rationalismen övervinner allt. Samtidigt tycker jag att det är viktigt att vara nyfiken på andra skolor, och ja, det kanske ingår! Leibniz lär ha sagt något i stil med följande: “I tre av fyra av våra handlingar är vi empirister.”
Matematiskt kan man nog betrakta mig som formalist, men här är Gödels ofullständighetsteorem ingen trevlig syn. Jag tror dock att det är viktigt att man accepterar det som en rationell slutsats, men jag hävdar inte att man måste tvingas till något på grund av detta. Jag tycker man har rätt till att experimentera med system av axiom som kanske kan förefalla helt irrationella. Axiom är inte “naturlagar”, och det finns inget explicit som säger att vissa system är bättre än
andra, utan det beror på vart man vill projicera det systemet kan ge.
Men hur hänger detta experimenterande ihop med min allmännt rationalistiska syn på saker och ting? Här kanske jag stöter på en otrevlig paradox. Men med matematiskt experimenterande menar jag att man gör något som kan liknas vid att improvisera fram ett musikstycke. Jag tror det är denna estetiska syn som präglar min formalism ganska kraftigt.
I allmänhet tycker jag att intuition är viktigt, men jag tror absolut inte att det existerar någon sorts allmän intuitionism. Det som existerar, och det som vi alla har, är förmågan att dra
rationella slutsatser utifrån våra erfarenheter och vår personliga intuition.
Vad har då till exempel musik för roll, om man tänker inom denna ram? Musik är ett formellt system som är mycket vackert, och som Gödels teorem inte kan angripa. Är musik då något empiriskt, eller är det kanske en projektion av någon entitet ur en platonistisk idévärld? Inom utilitarismen är det här så enkelt. Musik tänker jag hör till den typen av experimenterande jag skrev om ovan. Här måste ju naturligtvis något slags känsla för vad som är vackert spela roll, annars skulle det nog inte bli mycket vettigt skapat. Här ses tydligt det jag nämnde om den personliga intuitionen, som jag inte tror att man kan kappsla in i någon teori. Musik är det exempel som får avsluta den här texten, och som så vackert binder ihop rationalism, intuitionism, formalism.

INLEDNING

Denna text har det huvudsakliga syftet att försöka reda ut några oändligt komplexa saker som förbryllat mig länge. Som med mycket annat är det så att när man når högre och högre nivåer i en abstraktionshierarki, vad det än må vara, så kommer man att inse att det man vill förklara har analoga resonemang i många andra områden än det man från början avsedde. Jag kommer nu att börja med att förklara mina funderingar utifrån ett språkligt perspektiv. Det visade sig (jag tror så i alla fall) att mina funderingar har större koppling till språk än jag trodde.
Mina funderingar handlar, på en generell nivå, om tankar, och symboler. Jag funderar över hur t.ex. vårat matematiska eller musikaliska skrivsätt påverkar vårt fundamentala tankesätt. Ur ett annat perspektiv kan man se det som en frågeställning om hur vårat språk förmedlar information. Under rubriken MATEMATIK förklarar jag mera om varifrån mina funderingar kommer, och där kommer jag också att förtydliga en del. Gödels ofullständighetsteorem kommer vara ett centralt tema. Det är inte så förvånansvärt att kategoriteori kommer upp i tankarna. Men det lönar sig nog att börja med språket…

EN SPRÅKLIG TOLKNING

När man översätter en text till ett annat språk, så ställs man inför ett viktigt dilemma. Det är ett ganska subtilt problem, och har inte alltid någon direkt betydelse för förståelsen av texten. Vad jag syftar på är känslan som språket förmedlar. Denna är naturligtvis personlig, men vad är gemensamt? Ett visst ord på ett språk kanske inte alls framkallar samma känsla när det översätts, och man kanske ändrar texten mer för att matcha känslan. Frågan är uppenbar; vad är det ultimata språket? Finns det?
Nej, det gör det inte, och kommer aldrig heller att finnas… Det här har egentligen inte mycket med själva språket som sådant att göra, utan bara våra förväntningar på det. Vad vill vi egentligen att det skall kunna åstadkomma? Det är viktigt att inte dra förhastade slutsatser om vad som är något, och vad det förmedlar.
Språket är kraftfullt, och bär mycket mer information än själva orden. Hur tänkar vi oss saker och ting? Jo, vi använder språket när vi tänker! Fundera på skillnaderna mellan fraserna ”Grattis på födelsedagen” och ”Happy birthday”. Skälet till vissa skillnader är uppenbart: uttrycken är inte lika. Även om vi använder dem på samma sätt, är de inte alls lika i det här fallet. Men det här är inte vad jag försöker komma fram till, utan försök att koncentrera dig på ”födelsedagen” och ”birthday”. Finns det skillnader på denna nivå? Ja, det gör det, men skillnaderna är inte några explicita egenskaper som språket har, utan det är något inherent i oss, och som är olika för alla. Vi har olika erfarenheter, och associerar ord på olika sätt. En persons sekundära språk kommer aldrig att vara isomorft med modersmålet i den här meningen.
Språken innehåller information på denhär subtila nivån. En grön tröja och en röd tröja är båda tröjor, men signalerar ändå olika totalbudskap.
Om det nu fanns ett universellt språk, så skulle vi antagligen vara mycket mer kvicktänkta. Man kan leka med följande fundering: Vi använder vårat språk när vi tänker (i större delen av våra liv). Om vi nu kunde sätta samman stora mängder information til ny, på något sätt, skulle vi då kunna tänka mycket fortare? I själva verket använder vi oss av sådanahär blockningar till högre nivåer, men frågan är hur långt man kan gå. Är det här en Gödelsk procedur utan slut och med mål vi aldrig kan nå? Hur ska vi egentligen kunna förklara något som handlar om vårat språk? Vi använder sråket självt till detta, för vi har inget annat. Men vad går man miste om då? För att försöka besvara några av frågorna lönar det sig att titta på matematiken, som har många fördelar tackvare sin rigorösitet jämte språket när det gäller att försöka förklara sådanahär abstrakta ting.

MATEMATIK

Jag ska här försöka förklara hur det kan komma sig att jag tänker mig matematiken på ett så annorlunda vis, för det sägs att jag gör det. Detta tar jag upp därför att det visar notationernas mäktighet. Oftast är dessa bara små typografiska skillnader, men hur mycket påverkar sådana saker beräkningsmetoderna egentligen, och tankarna själva? Och varför? Det är frågor som jag ska diskutera.

Observera än en gång att detta inte enbart gäller matematik, men matematiken är ett utmärkt exempel på detta, eftersom den behandlar abstrakta saker på ett strikt sätt.

Jag är ganska intresserad av metamatematiska frågeställningar. Vad har vi för verktyg för att beskriva vårat beskrivningssätt? Med andra ord: hur kan vi beskriva vårat beskrivningssätt för matematik? Vad använder vi sedan för att beskriva beskrivningssättet? Den här tanken är mycket närbesläktad med de funderingar som Gödel framlade i sitt bevis för hans ofullständighetsteorem tycker jag.
Här finns något som man lätt aldrig tänker på. Det är ett mycket abstrakt område, som vi inte riktigt kan tala om på ett korrekt sätt.
Till att börja med kan vi koncentrera oss på den första nivån; hur vi skrever våran matematik. Det är naturligtvis som med vårt språk; det är ofullständigt, och kan inte beskriva allt på ett precist, entydigt sätt. Notationen styr mycket av det fundamentala tankesättet, och begränsar oss ofta på olika sätt.
Jag har väldigt stor erfarenhet av detta eftersom jag har vuxit upp med tre slags till stor del helt olika notationssystem.
1. Punktskriften, som läses rad för rad, har t.ex. ett helt annorlunda sätt att beskriva division, divisioner inuti divisioner, etc. Punktskriften är också den mest begränsade notationen.
2. Datornotationen, som om man inte använder speciella program, är begränsad till tangentbordets tecken. Här är parenteser ofta väldigt viktiga.
3. Den ”vanliga” notationen, som jag först nu mer och mer börjat bekanta mig med. Det är också därför jag ser skillnader, och kan jämföra skrivsätten. När nya koncept introduceras funderar jag ofta på varför de representeras som de gör.
Från början var det bara punktskrift som gällde, sedan kom datorerna, och jag fick börja använda ögonen, och lära mig att se och förstå. Detta var mycket svårt i början, näst intill omöjligt. Även om jag visste hur siffrorna och operatorerna såg ut, kunde jag inte tänka ut lösningar när jag såg dem. I början fuskade jag en del genom att skriva om tal i punktskrift. Såg jag 4/8*5/4-3/2 skrivet ”på vanligt sätt” kunde jag inte beräkna det, utan skrev om det i punktskrift först.

Jag är inte speciellt duktig i huvudräkning, som många tror. Jag har inget bildminne och kan inte se operationer i huvudet, och därför måste jag tänka på ett annat sätt.
För att förstå allt detta bättre kan man fundera på vad man tänker på när man tänker sig talet 8. Är det symbolen, eller är det någon egenskap som talet har, ja det finns oändligt många föreställningar. Jag antar att de flesta då ser siffran, en “betydelselös” symbol. Här vill jag än en gång poängtera hur djupt rotad notationen sitter i oss, och hur mycket vi använder den istället för något som kanske vore bättre.

Slutsatsen här är att det måste finnas en länk mellan själva skrivsättet, och det man i hjärnan tolkar som exempelvis addition. Man skulle t.ex. kunna byter ut alla plustecken mot bokstaven p, minus mot m, etc; 2g3p4g5d2p(1m2)…. Hur tänker man när man beräknar det här? Symbolerna är isomorfa i den meningen att de fungerar likadant, men de är ändå bara “kvasiisomorfa” vad gäller det de kan förmedla.
Men det slutar inte här. Det visar sig också att det finns mera fundamentala tankeskillnader som erhålls av olika notation.
Ett bra exempel är division, som man i datorsammanhang ofta skriver x/y.
Punktskrifts- och datorstilen är ganska lika, bortsett från att punktskriften också har en speciell operator “//”.
Dethär har medfört att jag har mycket svårt att tolka bråk än idag. En del beror på det sätt man först fick “bråk” förklarat. Man satt och delade cirklar och chokladkakor. Chokladkakor är gott, men för mig har denna tolkning ingen intuitiv betydelse.
Det blir dock lättare med tiden. Jag ser snabbt fördelarna med den ”vanliga” notationen, där man lätt, utan parenteser, visar vad som ingår i bråket. Men den vanliga notationen har också sina nackdelar, förståss. Den uttnyttjar i stort sett egenskapen att den kan vara tvådimensionell. Har man en division, och flera multiplikationer spelar det ofta ingen roll vad som “ingår i bråket”, detta är återgen bara en konsekvens av notationen.
När man vant sig vid andra system blir det att man ofta tänker på ett helt annorlunda sätt. Ett exempel är det man kallar för “att sätta upp något på gemensamt bråkstreck”. Det är något jag inte trodde kunde existera. Det är en sak som blir mer otydlig i datorerna. Om man skriver 1/(5+x)+2/(5+x), och om man aldrig sett den vanliga notationen med —-, så blir det mycket svårt att se någon ”förenkling”. Ännu svårare blir det att upptäcka sådant om nämnarna ser mer komplexa ut. Dethär blir avsevärt mycket lättare att tolka om man sett det vanliga skrivsättet förut. Man tänker helt enkelt inte alls på det sättet om man aldrig kommit i kontakt med det ”vanliga” skrivsättet. Man får börja fundera på operatorernas egenskaper såsom kommutativitet, distributivitet, osv.

Detta är ett trivialt exempel som visar att ett skrivsätt har stor påverkan på de fundamentala tankesätten inom matematiken.
Sanningen är den att när man ser formler på ett annorlunda vis, utan annan vana, tänker man mycket mer på operatorernas prioritet, och hittar ofta helt andra mönster. Mönster, är just ett mycket viktigt begrepp i sådanahär sammanhang.
Notationen är inte det enda som gjort att jag har ett annat tankesätt. Geometri, trigonometri och grafer är koncept som jag också föreställer mig på ett annat sätt. Jag tänker mer på relationer mellan mängder, och på något sätt på en mer fundamental nivå, där det finns väldigt många isomorfier mellan begrepp som kan tyckas helt olika.
Att ha en sådanhär öppen och splittrad föreställning om matematiken har naturligtvis både fördelar och nackdelar. Den största fördelen är troligen att det är relativt enkelt att föreställa sig abstrakta ting, t.ex. vektorrum i högre dimensioner.

Det är ganska komiskt att veta att ett av mina starkaste områden är analysen, där grafer har en central roll. Analysen har hjälpt mig otroligt mycket, speciellt inom fysiken. Hur ska man t.ex. tänka sig en accelererande bil, när man inte kan se den och inte kan springa bredvid och känna på den. Sitter man i den känner man av accelerationen, men har ingen aning om hur fort det går, Här kom derivatorna in och förklarade det mesta för mig. Det är också den enda tolkning av acceleration jag har idag.
Min svagaste sida är nog talteorin, kanske för att den handlar mycket om delbarhet och sådana begrepp som jag fortfarande har svårt att tolka. På grundskolan satt man med cirklar och chokladkakor och tog bort delar av dem och liknande, och det gav mig inte mycket…

SAMMANFATTNING

Många frågor är ställda, och få besvarade. Det är ett abstrakt och svårt område, och antagligen inte lätt att förstå när man läser. En bok jag vill rekommendera är Gödel, Escher, Bach - ett evigt gyllene band av Douglas R. Hofstadter. Boken diskuterar mycket sånthär, på olika nivåer. Gödels teorem är i sigsjälv intressant i dethär fallet. Den som känner till Gödels bevis kan börja fundera på om man kan tillämpa det i dethär fallet jag har beskrivit. Det är till viss del typografiska formella system vi har att göra med. Min slutliga poäng är att lyfta fram ett mycket viktig, men absolut inte intuitivt självklart faktum. Det är det att notationen ofta begränsar oss att dra slutsatser inom ramen för notationen själv. Tänk på Gödels teorem. “Att gå ut ur systemet”…

Det finns en gammal vits om en man som skall köpa sig en diskmaskin. Försäljaren visar stolt upp en alldeles förträfflig och toppmodern maskin som han hävdar “gör halva jobbet”. Mannen betänker detta och säger sedan glatt: “Vad bra, då tar jag två!” *konstpaus*
Vad är det för fel med mannens resonemang?
Problemet ligger i vad vi förutsätter att en diskmaskin skall kunna utföra, och vad som skall kallas för “jobbet”. Men vad händer då om vi verkligen förutsätter att denna maskin kan göra halva jobbet? Då skulle vi väl ändå slippa allt om vi tog två?
Nu är det tyvärr så att “jobbet” återigen har flera betydelser. Så om mannen köper en diskmaskin som gör halva jobbet, då finns det ett “jobb” kvar, och därför köper han en till diskmaskin. Men denna skall utföra halva jobbet, och mannen måste nu ändå utföra hälften av hälften av jobbet. Det här fortsätter naturligtvis i all oändlighet, och man inser att för att slippa allt jobb måste han köpa oändligt många diskmaskiner, vilket naturligtvis inte är möjligt. Det här påminner starkt om problematiken bakom Zenons rörelseparadoxer.
Tyvärr, rubriken var bara en modern myt…

Se på världens evinnerliga bekymmer, och meditera över orsaker, konsekvenser och så vidare, och inse till slut som alla andra att du inget kan göra. Begrunda här för ett ögonblck världens inherenta och kaotiska elakhet. I mångt och mycket kan man göra fel eller rätt; vad som sker kan man till viss del bestämma. Men betänk dock att det finns oändligt många sätt att göra fel, och bara ändligt många sätt att göra rätt, så inser du snart att det inte är lönt att ens försöka. Med elementär sannolikhetslära inser du att sannolikheten för att du gör rätt är något ändligt delat med något oändligt, vilket är så nära noll så det kan försummas totalt. På samma sätt har visats att det inte kan finnas några människor i universum och därför är vi bara en produkt av något virrigt fantasiväsen. Så uttryckte Douglas Adams det hela.

Något om problemreduktion
Tänk dig att du är en hund, därtill en just nu väldigt hungrig hund, sugen på ett smaskigt ben. Tur är att du råkar ha någon i närheten som just kastar ett ben till dig! Problemet råkar nu vara att benet flög över ett stängsel som nu blockerar dig. Det finns dock en öppen grind femtio meter bort som du kan utnyttja. Hur tillämpas problemreduktion här? Hur kan problemrummet se ut? Problemet inbegriper naturligtvis inte sådana idéer som att hoppa över stängslet.
En del hundar springer rakt fram till stängslet och sedan inser att de inte kan komma igenom det och ställer sig därför och skäller irriterat. Andra hundar springer till grinden, och får sedan tag på benet; och en tredje grupp kanske springer fram till stängslet, inser att det inte går att ta sig igenom det, och springer sedan till grinden. Tänker vi oss det först ovan nämnda alternativet, blir delproblemen att:
1. ta sig till stängslet
2. ta sig genom stängslet
3. ta sig till benet
Mycket logiska alternativ, om man bara tittar på en mycket liten del av problemet. Naturligtvis vore det väl bäst att springa direkt i den riktning där benet fanns, eftersom avståndet är kortast? Här har problemavstånd och fysiskt avstånd förväxlats.
Den andra typ av hundar, som springer genom grinden, kanske föreställer sig problemet som följer:
1. spring fram till grinden
2. ta sig genom grinden
3. ta sig till benet
Kanske har de prövat tanken att göra som i alternativ ett, men tack vare något slags återkoppling inser de att det inte kommer att lyckas. De här hundarna har en klar uppfattning om problem avstånd kontra fysiskt avstånd.
Den tredje kategorin som springer fram till stängslet först, och sedan inser att de borde springa till grinden, har samma potential som de som direkt sprang genom grinden. Skillnaden är att de inte har samma klara uppfattning om problemrummet.

Tänk så många problem i vardagen vi löser där vi måste aggera någon av dessa grupper. Ibland ser vi ingen utväg alls. Ibland ser vi lösningen direkt även om den innebär en liten förvrängning av problemrummet eller ett till synes försvårande av problemet som helhet. Ibland händer det ju också att vi är som hundarna i alternativ 3. Vi inser inte hur vi borde gjort förän vi prövat det som visar sig vara felaktigt.
Hur programmerar man en AI som klarar av allt detta? Jag vet inte, men kanske är inte den här reduktionistiska synen lämplig inom AI-programmering…

There are of course many unsolved problems. A solved problem is that of writing a Wikipedia article containing many of the unsolved problems. That is done, and it is an excellent collection.

This is by no means a rigorous introduction to the question. It might even have a lot of mistakes. This is just how I understand the problem so far, and I’d like to compare it to what I will get to know later on. I am one of those who believe that not understanding a thing perfectly can help a lot.

One of the seven Millennium Prize problems in mathematics and theoretical computer science is the P vs. NP conjecture, which I’ll briefly talk about today.
Wikipedia has a great article containing lots of information of what this really is about. It is by no means my only source though and I really recommend checking it out. CMI has a great, somewhat intuitive informal introduction to the problem in general.
First thing first: to understand this it is necessary to understand the branch of computer science and mathematics known as ‘(computational) complexity theory’. It is dealing with the cost of solving problems computationally. That is, it studies the complexity of problems. Now let us define two classes of problems (these definitions are what I’d like to somewhat improperly call axiomatic, and therefore not to question for the sake of the problem itself).
Class P — Here we put all problems that can be solved by a systematic approach in a finite number of steps.
Class NP — This class is a superset of the P class, and it contains all the problems that can be solved in a non-deterministic way in a finite number of steps. These classes are often described using Turing machines.
The big question is: Is P equal to NP? If that is the case, it would mean that given a problem having solutions that are easy to verify, we could also find an easy way of computing that answer. Many computer scientists believe the answer to this question is no, but it is still formally not proved, and a prize tag of $1,000,000 is set by the Clay Mathematics Institute for a proof.
To understand this better I like to think of cryptography, where there are processes we can’t reverse. If P=NP, that would mean we could, and therefore it should be easy to crack our “safe” codes.
By the way, Sudoku is NP-complete!

…At least according to this site:
http://www.netfunny.com/rhf/jokes/new89/halting.760.html
Share and enjoy!

Jag stötte på ett SVENSKT filosofiforum. Mycket bra att det finns!
www.filosofiforum.com

If I introduce a new word for something, a new adjective, describing some characteristic of something, we are suddenly being able to distinguish things apart we wouldn’t else have even noticed.
The fundamental questoin now then is: Do we need words? Why?
It seems as if we need a vocabulary to be able to even think about something, but then, a vocabulary, and even the language in general is very limiting, so why do we use it, and not something else I don’t have a clue of?

This is truly a great thing! MIT for example, has a great number of courses on the net as video lectures, and other materials as well. CERN has a number of them too. I especially would recommend the ones on quantum teleportation — A great phenomenon so misunderstood. I guess that applies for quantum physics in general.

En bild säger mer än tusen ord.
(Ett ord kan också säga mer än tusen bilder, bevis kanske kommer i framtiden)
Att visa: Ett ord säger mer än mer än tusen ord.

Metod 1 - bevis med att tillföra extra antaganden
Vi lägger till en premiss, ett axiom, nämligen att ett ord också kan kallas en bild.
Vi har nu att ett ord säger mer än tusen ord.
MEN ett ord består av bokstäver, som var och en kan betraktas som en enskilld bild, så därför måste ett ord säga mer än “mer än tusen ord”.
VSB.

Metod 2 - Induktion (mera generellt, gäller för ett godtyckligt antal bilder)
Basfallet: Ingen (noll stycken) bild säger mindre än tusen ord.
Ett godtyckligt fall: Ett visst antal bilder säger mer än mer än mer än … tusen ord.
En till: En bild mer än ett visst antal bilder säger mer än mer än mer än mer än … tusen ord.
Dethär är intuitivt självklart (klassiskt uttryck).
VSB.

Metod 3 - bevis med kontradiktion
Om detta misslyckas, så är den ursprungliga slutsatsen giltig.
Att visa: En bild säger inte mer än tusen ord.
Detta är samma sak som “ingen bild säger mer än tusen ord.” (neka bägge delar).
Här betyder “ingen” att det inte finns någon bild, och inte att det inte skulle kunna finnas någon.
Dethär fungerar inte.
Därmed är beviset klart eftersom detta är omöjligt. VSB

Fler metoder kan tillämpas, ex. reducio ad absurdum. Javisst!
Man kan också “bevisa” att ett ord säger oändligt mycket.

De vanliga skalorna är uppbyggda av stora och små sekunder. Det intressanta är heltonskalor, som bara är uppbyggda av stora sekunder. De har nämligen ingen tonika, inget hem, inget mål. Den underliggande matematiken förklarar fenomenet, men det är ett lustigt ett…

Nu blir det att vandra runt i några underrum ett tag.